Quantum Information Science I メモその6 ユニタリ変換

$\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$ Wikipediaによると、数学において、ユニタリ変換（ユニタリへんかん）とは、2つのベクトルの内積の値が変換の前後で変わらないような変換である。(Wikipedia)とあるが、これと同じことだと思うが、捉え方は色々とあるようで、 Shore先生によると3つの定義があるとのこと。

複素数の基底ベクトルを別の複素数の基底ベクトルにするもの (1)
全ての列が互いに直交している(行もなのかな)行列による変換 (2)
$U^{-1} = U^{\dagger}$ となっている行列による変換 (3)
$\dagger$ がつくのは、複素共役とって転置したもの

(2)の導出

d次元のQuantum state space $\ket{0}, \ket{1},\cdots\ket{d-1}$ としたとき、

$\displaystyle \ket{j} = \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}$ (j番目だけ1の列ベクトル)とすると

$U\ket{j} = \ket{c_i}$ とおけば

$c_i$ はUのj番目の列なので、

$\displaystyle U^{\dagger}=({c_1}, {c_2}, \cdots {c_{d-1}}))$

$U$

$=\sum_{j=0}^{d-1}\ket{c_i}\bra{j}$ となり、

$\displaystyle U\ket{k}=\sum_{j=0}^{d-1}\ket{c_i}\braket{j}{k}$ (上の式に $\ket{k}$ 掛けただけ)

$=\sum_{j=0}^{d-1}\ket{c_i}\delta_{kj}$ ここで $\delta_{kj}$ はクロネッカーのデルタ

$\displaystyle \frac{\ket{j}+\ket{k}}{\sqrt{2}}$ をUで変換すると、

$\displaystyle \sum_{m=0}^{d-1}\ket{c_m}\bra{m}( \frac{\ket{j}+\ket{k}}{\sqrt{2}}) = \frac{\ket{c_j}+\ket{c_k}}{\sqrt{2}}$ Unitary transformationしたので、これも基底ベクトル

$\displaystyle \frac{\bra{c_j}+\bra{c_k}}{\sqrt{2}}\frac{\ket{c_j}+\ket{c_k}}{\sqrt{2}} = \frac{\braket{c_j}{c_j}+\braket{c_k}{c_k}+\braket{c_j}{c_k}+\braket{c_k}{c_j}}{2}=1+\frac{\braket{c_j}{c_k}+\braket{c_j}{c_k}^*}{2}$

$\displaystyle = 1 \because$ ユニタリ変換したものは基底ベクトル

$\displaystyle \rightarrow \braket{c_j}{c_k}+\braket{c_j}{c_k}^*=0 \leftrightarrow Re(\braket{c_j}{c_k})=0$ (a)

同様に、

$\displaystyle \frac{\ket{j}+i\ket{k}}{\sqrt{2}}$ をUで変換すると、

$\displaystyle \frac{\bra{c_j}+i\bra{c_k}}{\sqrt{2}}\frac{i\ket{c_j}+\ket{c_k}}{\sqrt{2}} = \frac{\braket{c_j}{c_j}+\braket{c_k}{c_k}+i\braket{c_j}{c_k}-i\braket{c_k}{c_j}}{2}=1+i\frac{\braket{c_j}{c_k}-\braket{c_j}{c_k}^*}{2}$

$\displaystyle \rightarrow \braket{c_j}{c_k}-\braket{c_j}{c_k}^*=0 \leftrightarrow Im(\braket{c_j}{c_k})=0$ (b)

(a), (b) $\leftrightarrow \braket{c_j}{c_k}=0 \therefore c_jとc_j$ は直交　Uの全ての列ベクトルは互いに直交

(3)の導出

$\displaystyle U=(c_1, c_2, \cdots c_{d-1})$

$\displaystyle U^{\dagger} = \begin{pmatrix} {c_1^{\ast}}\\ {c_2^{\ast}}\\ \cdots \\ {c\_{d-1}^{\ast}} \end{pmatrix}$

$\displaystyle U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} {c_1^{\ast}c_1}&{c_1^{\ast}c_2}&{\cdots}\\ {c_2^{\ast}c_1}&{c_2^{\ast}c_2}&{\cdots}\\ {\cdots}& {\cdots}& {\cdots}\\ {\cdots}&{\cdots}&{\cdots} \end{pmatrix} = E$