2023-02-06

Quantum Information Science I メモその12 No-cloning theorem

$\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$

No-cloning theorem (量子複製不可能定理)

「量子状態はコピーできない」という話自体は聞いたことあるけど、どういう意味なのか良くわからなかったが、この講義を聞いて分かったような。（今も正直狐につままれた感が）

前提として、

ユニタリ変換の前後で内積は変わらない(保存される)。

これは、後で示すが、あまり難しい話ではない。

その時、未知の量子状態 $\displaystyle \phi$ がコピーできるということは、

$\displaystyle \ket{\phi} \ket{0} \rightarrow \ket{\phi} \ket{\phi}$ (1)

とすることができる　と示せる。　同様に

$\displaystyle \ket{\psi} \ket{0} \rightarrow \ket{\psi} \ket{\psi}$ (2)

(1), (2)　の各辺で内積を取ると

$\displaystyle \braket{\phi}{\psi} \braket{0}{0} = \braket{\phi}{\psi} \braket{\phi}{\psi}$

$\displaystyle \braket{\phi}{\psi} = x$ と置くと x = x²

これは、x=0 or x=1　のときしか成立しない。

ここから、直交するか同じ状態にあるものしか、コピーできないので、未知の量子状態はコピーできない。

私の分かっていないポイント

$\displaystyle \ket{0}$ が急に出てきたけど、なぜ？　状態が分っているものの例として？

ここで使った、ユニタリ変換で内積が変わらないというのは、

$\displaystyle \ket{\phi} \rightarrow U \ket{\phi}$

$\displaystyle \ket{\psi} \rightarrow U \ket{\psi}$

というユニタリ変換を考えたときに、変換後の内積をとると $\displaystyle U^{\dagger}=U^{-1}$ となるので、

$\displaystyle \bra{\phi} U^{\dagger} U \ket{\psi} = \bra{\phi} I \ket{\psi} = \braket{\phi}{\psi}$

となり変換前の内積と同じ

2019-10-20

Quantum Information Science I メモその10 内積

内積(Inner product)

普通の内積 $\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$ $\displaystyle \braket{\psi}{\phi}=\sum_{00}^{11}\psi^{*}_i{\phi}_i$

$\displaystyle \psi_1 = \ket{\phi_1}\otimes\ket{\phi_2}$ , $\displaystyle \psi_2 = \ket{\phi_3}\otimes\ket{\phi_4}$

とすると

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2}=\braket{\phi_1}{\phi_3}\braket{\phi_2}{\phi_4}$

証明というか、計算は

$\displaystyle \phi_1=(\alpha_1\ket{0}+\beta_1\ket{1})$

$\displaystyle \phi_2=(\gamma_1\ket{0}+\delta_1\ket{1})$

$\displaystyle \phi_3=(\alpha_2\ket{0}+\beta_2\ket{1})$

$\displaystyle \phi_4=(\gamma_2\ket{0}+\delta_2\ket{1})$

とすると

$\displaystyle \psi_1= \ket{\phi_1}\otimes\ket{\phi_2} = (\alpha_1\ket{0}+\beta_1\ket{1})(\gamma_1\ket{0}+\delta_1\ket{1})$

$\displaystyle \psi_2= \ket{\phi_3}\otimes\ket{\phi_4} = (\alpha_2\ket{0}+\beta_2\ket{1})(\gamma_2\ket{0}+\delta_2\ket{1})$

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2}=\alpha_1^{\ast} \gamma_1^{\ast}\alpha_2 \gamma_2 + \alpha_1^{\ast} \delta_1^{\ast} \alpha_2 \delta_2 + \beta_1^{\ast} \gamma_1^{\ast}\beta_2 \gamma_2 + \beta_1^{\ast} \delta_1^{\ast} \beta_2 \delta_2$

$\displaystyle =(\alpha_1^{\ast}\alpha_2 + \beta_1^{\ast}\beta_2)(\gamma_1^{\ast}\gamma_2 + \delta_1^{\ast}\delta_2)$

$\displaystyle = \braket{\phi_1}{\phi_3}\braket{\phi_2}{\phi_4}$

2019-10-11

Quantum Information Science I メモその8 d次元のMeasurement

Bloch Spereで、 f:id:hanimarushama:20181022032959p:plain:w250 $\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$ Quantum Computingでは、上の図の矢印の位置、 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})$ は、 $\ket{+}$ 、

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})$ は、 $\ket{-}$ と表される。

Measurement

Qbitの場合

Measurement: $\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$ に対して、Measurement(測定)すると、 $\alpha^{2}$ の確率で $\ket{0}, \beta^2$ の確率で $\ket{1}$ であることを識別できる。

d次元の場合

d次元の場合、Standard basis(標準基底)における「von Neumann measurement」は、

$\displaystyle \alpha_{0}\ket{0} + \alpha_1\ket{1} + \alpha_2\ket{2} + \cdots + \alpha_{d-1} \ket{d-1}$

確率 $\displaystyle |\alpha_k|^2$ の確率で $\ket{k}$ となる。

(1)は単位ベクトルなので $\displaystyle \sum_{i=0}^{d-1}|\alpha_i|=1$

任意のMeasurement basis(標準基底でない場合も) $\ket{w_0}, \ket{w_1} \cdots \ket{w_{d-1}}$ のもとで、

$\ket{\psi} \ket{w_i}$ を見る確率は $|\braket{w_i}{\psi}|^2$

あるStateを、任意のMeasurement basisで測定するということなのかな。

2019-08-14

Quantum Information Science I メモその7 コペンハーゲン解釈

Copenhagen interpretation (コペンハーゲン解釈)

ボーアの考え方(ボーアの研究所がコペンハーゲンにあった)ということらしいが、これまで聞いたことがあるコペンハーゲン解釈は、Wikipediaにある「量子力学の状態は、いくつかの異なる状態の重ね合わせで表現される。このことを、どちらの状態であるとも言及できないと解釈し、観測すると観測値に対応する状態に変化する（波束の収縮が起こる）と解釈する。」というものですが、Shor先生の説明は以下の通り。本質的には同じことなのか、分からない。。。

コペンハーゲン解釈は、「量子力学の過程は２つのevolution(ステップ)に分けられる」とするもの

unitary evolution
measurement

実生活では両方同時に起きるが、説明を分かりやすくするために、Unitary evolutionが起こってから、観測(Measurement)が行われるとする解釈の仕方

2019-07-30

Quantum Information Science I メモその6 ユニタリ変換

$\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$ Wikipediaによると、数学において、ユニタリ変換（ユニタリへんかん）とは、2つのベクトルの内積の値が変換の前後で変わらないような変換である。(Wikipedia)とあるが、これと同じことだと思うが、捉え方は色々とあるようで、 Shore先生によると3つの定義があるとのこと。

複素数の基底ベクトルを別の複素数の基底ベクトルにするもの (1)
全ての列が互いに直交している(行もなのかな)行列による変換 (2)
$U^{-1} = U^{\dagger}$ となっている行列による変換 (3)
$\dagger$ がつくのは、複素共役とって転置したもの

(2)の導出

d次元のQuantum state space $\ket{0}, \ket{1},\cdots\ket{d-1}$ としたとき、

$\displaystyle \ket{j} = \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}$ (j番目だけ1の列ベクトル)とすると

$U\ket{j} = \ket{c_i}$ とおけば

$c_i$ はUのj番目の列なので、

$\displaystyle U^{\dagger}=({c_1}, {c_2}, \cdots {c_{d-1}}))$

$U$

$=\sum_{j=0}^{d-1}\ket{c_i}\bra{j}$ となり、

$\displaystyle U\ket{k}=\sum_{j=0}^{d-1}\ket{c_i}\braket{j}{k}$ (上の式に $\ket{k}$ 掛けただけ)

$=\sum_{j=0}^{d-1}\ket{c_i}\delta_{kj}$ ここで $\delta_{kj}$ はクロネッカーのデルタ

$\displaystyle \frac{\ket{j}+\ket{k}}{\sqrt{2}}$ をUで変換すると、

$\displaystyle \sum_{m=0}^{d-1}\ket{c_m}\bra{m}( \frac{\ket{j}+\ket{k}}{\sqrt{2}}) = \frac{\ket{c_j}+\ket{c_k}}{\sqrt{2}}$ Unitary transformationしたので、これも基底ベクトル

$\displaystyle \frac{\bra{c_j}+\bra{c_k}}{\sqrt{2}}\frac{\ket{c_j}+\ket{c_k}}{\sqrt{2}} = \frac{\braket{c_j}{c_j}+\braket{c_k}{c_k}+\braket{c_j}{c_k}+\braket{c_k}{c_j}}{2}=1+\frac{\braket{c_j}{c_k}+\braket{c_j}{c_k}^*}{2}$

$\displaystyle = 1 \because$ ユニタリ変換したものは基底ベクトル

$\displaystyle \rightarrow \braket{c_j}{c_k}+\braket{c_j}{c_k}^*=0 \leftrightarrow Re(\braket{c_j}{c_k})=0$ (a)

同様に、

$\displaystyle \frac{\ket{j}+i\ket{k}}{\sqrt{2}}$ をUで変換すると、

$\displaystyle \frac{\bra{c_j}+i\bra{c_k}}{\sqrt{2}}\frac{i\ket{c_j}+\ket{c_k}}{\sqrt{2}} = \frac{\braket{c_j}{c_j}+\braket{c_k}{c_k}+i\braket{c_j}{c_k}-i\braket{c_k}{c_j}}{2}=1+i\frac{\braket{c_j}{c_k}-\braket{c_j}{c_k}^*}{2}$

$\displaystyle \rightarrow \braket{c_j}{c_k}-\braket{c_j}{c_k}^*=0 \leftrightarrow Im(\braket{c_j}{c_k})=0$ (b)

(a), (b) $\leftrightarrow \braket{c_j}{c_k}=0 \therefore c_jとc_j$ は直交　Uの全ての列ベクトルは互いに直交

(3)の導出

$\displaystyle U=(c_1, c_2, \cdots c_{d-1})$

$\displaystyle U^{\dagger} = \begin{pmatrix} {c_1^{\ast}}\\ {c_2^{\ast}}\\ \cdots \\ {c\_{d-1}^{\ast}} \end{pmatrix}$

$\displaystyle U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} {c_1^{\ast}c_1}&{c_1^{\ast}c_2}&{\cdots}\\ {c_2^{\ast}c_1}&{c_2^{\ast}c_2}&{\cdots}\\ {\cdots}& {\cdots}& {\cdots}\\ {\cdots}&{\cdots}&{\cdots} \end{pmatrix} = E$

$\therefore U^{\dagger}=U^{-1}$

2019-07-20

Quantum Information Science I メモその5 量子ゲート

$\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$

Bloch sphere上での回転等 = 量子ゲート(量子計算における基本計算)になる。

Pauli matrices パウリ行列

Bloch sphere上で、

$\displaystyle \sigma_x=\begin{pmatrix} {0}& {1}\\ {1} & {0} \end{pmatrix}$ : x軸を中心に180度回転

$\displaystyle \sigma_y=\begin{pmatrix} {0} & {-i}\\ {i} & {0} \end{pmatrix}$ : y軸を中心に180度回転

$\sigma_z=\begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {-1} \end{pmatrix}$ : z軸を中心に180度回転

特性

$\sigma_x\sigma_y = i \sigma_z$
$\sigma_y\sigma_z = i \sigma_x$
$\sigma_z\sigma_x = i \sigma_y$

順番を変えるとマイナスつく

$\sigma_y\sigma_x = -i \sigma_z$
$\sigma_x\sigma_z = -i \sigma_y$

H (おそらくHadamard transform)

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} {1}& {1}\\ {1} & {-1} \end{pmatrix}$ : 原点から $(sin(\frac{\pi}{8}), 0, cos(\frac{\pi}{8}))$ への直線を軸に回転

例：

$\ket{\uparrow}$ と $\ket{\rightarrow}$ を相互に変換

$\ket{\downarrow}$ と $\ket{\leftarrow}$ を相互に変換

S

$S=\begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {i} \end{pmatrix} : S^2 = Z$

T

$T=\begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {e^{\pi\frac{i}{4}}} \end{pmatrix} : T^2 = S$

Pauli matrixを使って、 $\theta$ だけ回転するには

ブロッホ球上で、 x軸を中心に $\theta$ 回転させるのは、 $e^{-i\theta{\sigma_x/2}}$ y軸を中心に $\theta$ 回転させるのは、 $e^{-i\theta{\sigma_y/2}}$ z軸を中心に $\theta$ 回転させるのは、 $e^{-i\theta{\sigma_z/2}}$

ここで、パウリ行列

$\sigma_z=\begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {-1} \end{pmatrix}$

$e^{-i\theta{\phi_z}}=\begin{pmatrix} {e^{-i\theta/2}}& {0}\\ {0} & {e^{i\theta/2}} \end{pmatrix} = {e^{-i\theta/2}}\begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {{e^{i\theta}}} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {{e^{i\theta}}} \end{pmatrix} \because$ global phase(係数?)は無視できるので

行列Xを指数のところに持ってくると、結果は行列になって、底はそのままで、指数部分にXを除いたものが来るのかぁ。と思ったが違った。先生、素人相手に端折りすぎだぜ。(元々、MITの学生さん相手だから大丈夫なのか。。)　理解した内容は、ここに書く

z軸を中心に $\theta$ 回転する方法が分かったので、例として、 $\displaystyle \frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt{2}}$ をz軸を中心に $\displaystyle 90^\circ (\frac{\pi}{2})$ 回転 (以下の図で、回転して青を赤に)

f:id:hanimarushama:20181118015410p:plain:w250

$\displaystyle \begin{pmatrix} {1}& {0}\\ {0} & {{e^{i\pi/2}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\pi/2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\frac{i}{\sqrt{2}}} \end{pmatrix}$

$e^{-i\theta/2\sigma_y}$ を別の形で表す

対角化する。
テイラー展開する

対角化(Diagonalize)すると、 $\displaystyle U{\sigma_y}U^{\dagger}=Dとして、$

$\displaystyle e^{-i{\theta}D/2}$ としてから

Undiagonalizeする $\displaystyle U^{\dagger}e^{-i{\theta}D/2}U$ 　っとのことですが、このUを出さないといけないが、そこはわかりませんでした。「この先は自明じゃ」。ということかもしれないが、私には自明ではない。。でも、もう一つ分かればよしとして、対角化の方は深追いしない。

行列の指数計算

$\displaystyle e^{X} \equiv \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}X^{k}$

最初は、なんと直感的でない定義だ。と思ったけど、以下のテイラー級数で表現したe^xからきてるのか

$\displaystyle e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$

ここで、Xが対角化されていると例えば、2by2の行列でいうと

$\begin{pmatrix} {a}& {}\\ {} & {b} \end{pmatrix}^x = \begin{pmatrix} {a^x}& {}\\ {} & {b^x} \end{pmatrix}$

なので、

$\displaystyle e^{X} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\begin{pmatrix} {a^k}& {}\\ {} & {b^k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {e^a}& {}\\ {} & {e^b} \end{pmatrix}$

となることから、対角化して...という話が出ていたのかと納得

テイラー展開する

すでに、行列のべき乗の定義の時点でテイラー展開が出てきているが、定義に基づいてテイラー展開した計算をしているよう

$\displaystyle e^{iAx} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}{iAx}^{k}$ で、

A² = I だと、 $\displaystyle e^{iAx} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}{(iAx)}^{k} = (\cos x) I(偶数項)+i(\sin x) A(奇数項)$

これを使うと $e^{-i\theta/2\sigma_y} = (\cos\frac{\theta}{2}) I-i(\sin \frac{\theta}{2})\sigma_y$

$\displaystyle = \begin{pmatrix} {\cos \frac{\theta}{2}}& {-\sin \frac{\theta}{2}}\\ {\sin \frac{\theta}{2}} & {\cos \frac{\theta}{2}} \end{pmatrix}$

x軸周りの回転

同様に、 $e^{-i\theta/2\sigma_x} = (\cos\frac{\theta}{2}) I-i(\sin \frac{\theta}{2})\sigma_x$

$\displaystyle = \begin{pmatrix} {\cos \frac{\theta}{2}}& {-\sin \frac{\theta}{2}}\\ {-\sin \frac{\theta}{2}} & {\cos \frac{\theta}{2}} \end{pmatrix}$

2019-07-20

Quantum Information Science I メモその4 Bloch sphere

量子コンピューティング edX

Bloch sphere

(ブロックって聞こえたが、ブロッホらしい。)

量子ビットの状態を3次元で示している $\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$

spin up

f:id:hanimarushama:20181022032650p:plain:w250

spin down

f:id:hanimarushama:20181022032728p:plain:w250

$\displaystyle \rightarrow = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} + \ket{\downarrow})$

f:id:hanimarushama:20181022032959p:plain:w250

$\displaystyle \otimes = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} + i\ket{\downarrow})$

f:id:hanimarushama:20181022033109p:plain:w250

$\displaystyle \odot= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} - i\ket{\downarrow})$

f:id:hanimarushama:20181022033148p:plain:w250

これを使って、Qubitの演算結果を「回転」により示したりする。　

量子会計士

先輩、それ本気でノイマン型でやるんですか？！と言われないためにあがく。

Quantum Information Science I メモその12 No-cloning theorem

No-cloning theorem (量子複製不可能定理)

ここで使った、ユニタリ変換で内積が変わらないというのは、

Quantum Information Science I メモその10 内積

内積(Inner product)

Quantum Information Science I メモその8 d次元のMeasurement

Measurement

Qbitの場合

d次元の場合

Quantum Information Science I メモその7 コペンハーゲン解釈

Copenhagen interpretation (コペンハーゲン解釈)

Quantum Information Science I メモその6 ユニタリ変換

(2)の導出

(3)の導出

Quantum Information Science I メモその5 量子ゲート

Bloch sphere上での回転等 = 量子ゲート(量子計算における基本計算)になる。

Pauli matrices パウリ行列

H (おそらくHadamard transform)

S

T

Pauli matrixを使って、 $\theta$ だけ回転するには

$e^{-i\theta/2\sigma_y}$ を別の形で表す

行列の指数計算

テイラー展開する

x軸周りの回転

Quantum Information Science I メモその4 Bloch sphere

Bloch sphere

No-cloning theorem (量子複製不可能定理)

ここで使った、ユニタリ変換で内積が変わらないというのは、

内積(Inner product)

Measurement

Qbitの場合

d次元の場合

Copenhagen interpretation (コペンハーゲン解釈)

(2)の導出

(3)の導出

Bloch sphere上での回転等 = 量子ゲート(量子計算における基本計算)になる。

Pauli matrices パウリ行列

H (おそらくHadamard transform)

S

T

Pauli matrixを使って、だけ回転するには

を別の形で表す

行列の指数計算

テイラー展開する

x軸周りの回転

Pauli matrixを使って、 $\theta$ だけ回転するには

$e^{-i\theta/2\sigma_y}$ を別の形で表す