Quantum Information Science I メモその3 Quantum state

再び、Shor先生登場。
texを調べながらメモる。

Shor先生は、天才的な人なのは間違いないだろうけど、結構計算間違いする。
凡人の思っていた天才と違って親近感が感じられます。

凡人の私は、先生の間違いを見逃している可能性大なので要注意。 $\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\\ \require{HTML}$

ここからの量子力学の説明における前提知識

ベクトル
行列　→　加算と乗算
固有値
固有ベクトル

前提としない知識 (つまり、先生が授業で教えてくれるやつ)

ユニタリー行列 (Untary matrices)
エルミート行列 (Hermitian matrices)
テンソル積 (Tensor products)

Quantum state

Quantum state はcomplex vector space(虚数を含むベクトル空間)で、Qbitは2次元の quantum state

光子の偏光 : $\ket\leftrightarrow と \ket\updownarrow$
粒子の $\displaystyle \frac{1}{2}$ スピン : $\ket\uparrow$ と $\ket\downarrow$
Harmonic oscillator (調和振動子) $\ket{0},\ket{1},\ket{2},\ket{3}$ …

例として、4次元のstate spaceを考える basis vectors (基本ベクトル？)を $\ket{0},\ket{1},\ket{2},\ket{3}$ とおく
列ベクトル $\ket{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3} \\ v_{4} \end{pmatrix}$

Quantum stateは、Quantum space内の単位ベクトル

例： $\ket{v}=\begin{pmatrix} {0.5}\\ {0.5}\\ {0.7i} \\ {0.1} \end{pmatrix}$

$\sqrt{{0.5}^2 + {0.5}^2 + {0.7}^2+{0.1}^2}=1$

Dirac記法で、

$\bra{v}$ ← こちらがbra で、
$\ket{v}$ ←こちらket

$\bra{v} = v^{*T}$ : vの複素共役の転置

2つ合わせると braket(センスいいなぁ):　 $\braket{v}{v} = 1$ ( $v$ は単位ベクトルなので)
$\braket{w}{v} = w^{*T}v$

光子の偏光で言えば

$\displaystyle \ket{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\updownarrow}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\leftrightarrow} + \ket{\updownarrow})$ : 斜め45度偏光
$\displaystyle \ket{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\updownarrow}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\leftrightarrow} - \ket{\updownarrow})$
$\displaystyle \ket{\circlearrowright} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\leftrightarrow} - i\ket{\updownarrow})$ : 円偏光(なんすかそれ。)
$\theta$ 傾いたものは、 $cos\theta\ket{\leftrightarrow} + sin\theta\ket{\updownarrow}$

粒子のスピンで言うと

$\uparrow$ : spin up
$\downarrow$ : spin down
$\displaystyle \rightarrow = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} + \ket{\downarrow})$
$\displaystyle \leftarrow = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} - \ket{\downarrow})$
$\displaystyle \otimes = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} + i\ket{\downarrow})$ : in 画面奥に行く方向
$\displaystyle \odot= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} - i\ket{\downarrow})$ : out 画面の手前に来る方向

Global phase(全体の係数？)をかけてもQuantum stateの基本的性質は変わらない。 $\rightarrow$ Global phaseは無視できる。消せる。

ということから、 $\ket{\downarrow}$ は、 $i\ket{\downarrow}$ と"本質的には同じ"
だけど、 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} + \ket{\downarrow}) \neq \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow} + i\ket{\downarrow})$ : rightとinで、違う。

であれば、 $i$ を $\ket{\uparrow}$ (2次元のQuantum stateの片方)の係数からはとることができるということかな。

( $\ket{\uparrow}, \ket{\downarrow}$ 両方に $i$ がついていたら、括りだして消す。 $\ket{\uparrow}$ についていたら、Global phaseを $i$ として、 $\ket{\downarrow}$ の係数に $-i$ かければOK、Global phaseの $i$ は消せる。)